17 de febrero de 2010

Kurt Gödel, André Weil y Henri Poincaré. Filosofía de la matemática.

Hace algún tiempo publicamos en urbanoperu.com una copia de la revista Scientific American del Brasil, (Edicion 12) que contiene información sobre el trabajo científico de (Poincaré, Gödel y Bourbaki) no obstante que está escrita en portugués, considero que es un importante apoyo.

Los trabajos de Poincaré, Gödel y Bourbaki se presentaron como el intento de ofrecer al lector una visión de los temas fundamentales de la matemática que ocuparon a las mejores mentes del siglo XX. Actualizo estas referencias porque permiten al lector tener una visión sinóptica de la historia de la filosofía de la matemática.

Kurt Gödel
Reconocido como uno de los más importantes lógicos de todos los tiempos, el trabajo de Gödel ha tenido un impacto inmenso en el pensamiento científico y filosófico del siglo XX. Gödel, al igual que otros pensadores como Bertrand Russell, A. N. Whitehead y David Hilbert intentó emplear la lógica y la teoría de conjuntos para comprender los fundamentos de la matemática. A Gödel se le conoce mejor por sus dos teoremas de la incompletitud, publicados en 1931 a los 25 años de edad, un año después de finalizar su doctorado en la Universidad de Viena.

El más célebre de sus teoremas de la incompletitud establece que para todo sistema axiomático recursivo auto-consistente lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los números naturales (la aritmética de Peano), existen proposiciones verdaderas sobre los naturales que no pueden demostrarse a partir de los axiomas. Para demostrar este teorema desarrolló una técnica denominada ahora como numeración de Gödel, el cual codifica expresiones formales como números naturales.

También demostró que la hipótesis del continuo no puede refutarse desde los axiomas aceptados de la teoría de conjuntos, si dichos axiomas son consistentes. Realizó importantes contribuciones a la teoría de la demostración al esclarecer las conexiones entre la lógica clásica, la lógica intuicionista y la lógica modal.

Teoremas de la incompletitud de Gödel

IMPLICACIONES TEORICO—FILOSOFICAS DEL TEOREMA DE GOEDEL EN
EL PARADIGMA RACIONALISTA DE LA REFLEXION SOBRE LAS MATEMATICAS


Standford enciclopedia of Philosophy

Goedel y Einstein: amistad y relatividad


André Weil
La investigación de Weil se centro en la teoría de números, en la geometría algebraica y en la teoría de grupos. A partir de la década de 1940, Weil comenzó rápidamente la investigación de la geometría algebraica y la teoría de números y sentó las bases de la geometría algebraica abstracta y la teoría moderna de las variedades abelianas. Su trabajo sobre las curvas algebraicas ha influido en una gran variedad de áreas, incluyendo algunas fuera de las matemáticas, tales como la física de partículas elementales y la teoría de cuerdas.

De hecho el trabajo de Weil en este ámbito era fundamental para el trabajo de matemáticos como Yau, que fue galardonado con la Medalla Fields en 1982 para trabajar en tres dimensiones la geometría algebraica que tiene aplicaciones importantes en la teoría cuántica de campos.

Yau no es el único matemático que recibió la Medalla Fields por un trabajo que continúa lo iniciado por Weil. Deligne en 1978 fue galardonado con la Medalla Fields para la solución de las conjeturas de Weil.

Uno de los principales logros de Weil fue su prueba de la hipótesis de Riemann para las funciones zeta de la congruencia de los campos de funciones algebraicas. En 1949 se planteó hacer conjeturas acerca de la función zeta de la congruencia de las variedades algebraicas sobre campos finitos. Estas conjeturas de Weil, surgieron de su profundo conocimiento de la topología de variedades algebraicas y siempre fue uno de los principios rectores para la evolución posterior en el campo.

El trabajo de Weil en la teoría de números y en la geometría algebraica fue muy fructífera. Los cimientos de muchos temas estudiados en profundidad hoy en día fueron colocados por Weil en este trabajo, tales como los fundamentos de la teoría de las formas modulares, las funciones y representaciones automorfas.

Sin embargo, el trabajo de Weil fue de gran importancia en una serie de otros temas de la nueva matemática. Él contribuyó sustancialmente a la topología, a la geometría diferencial y a la geometría analítica compleja. Pero no sólo en estas áreas contribuyo, más importante aún, su trabajo llevado a cabo relaciones fundamentales entre las áreas al estudiar el análisis armónico en grupos topológicos y clases características. También reunio estas áreas en conjunto en su trabajo sobre la teoría geométrica de la función theta y la geometría Kähler.

Junto con Jean Dieudonné y otros, Weil escribió bajo el nombre de Nicolas Bourbaki, un proyecto que comenzó en la década de 1930, en el que intentó dar una descripción unificada de las matemáticas. El objetivo era invertir una tendencia que no les gustaba, a saber, la falta de rigor en las matemáticas. La influencia de Bourbaki ha sido muy importante durante muchos años, , ya que básicamente ha tenido éxito en su objetivo de fomentar el rigor y la abstracción.

Los libros más famosos de Weil incluyen Fundamentos de la Geometría Algebraica (1946) y Funciones elípticas según Eisenstein y Kronecker (1976).

Weil recibió muchos honores por su destacada labor en las matemáticas. Entre estos ha sido miembro honorario de la Sociedad Matemática de Londres en 1959 y la elección de una beca de la Royal Society de Londres en 1966. Además, ha sido elegido miembro de la Academia de Ciencias de París y de la Academia Nacional de Ciencias en los Estados Unidos.

Weil fue un orador invitado en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1950 en la Universidad de Harvard y otra vez en el Congreso Internacional siguiente, en 1954. En 1979, Weil fue galardonado con el Premio Wolf y, en el año siguiente, la Sociedad Americana de Matemáticas le otorgó el Premio Steele. En 1994 recibió el Premio Kioto de la Fundación Inamori de Japón:

Los resultados obtenidos y los problemas planteados por André Weil, a través de su profundo conocimiento y una profunda visión en ciencias matemáticas, en general, seguirá teniendo influencia inmensa en el desarrollo de las ciencias matemáticas, y contribuyó en gran medida al desarrollo de la ciencia, así como a la profundización y elevación del espíritu humano.

André Weil es recordado por su trabajo fundamental en las fronteras de las matemáticas.

En su biografía oficial figura que es miembro de la Academia de Ciencias y Letras de Poldavia. (Poldavia fue un país inventado por la ficción de Bourbaki.)
Armand Borel, Pierre Cartier, Komaravolu Chandrasekharan, Shiing-Shen Chern, and Shokichi Iyanaga

Henri Poincaré
(Nancy, Francia, 1854-París, 1912) Matemático francés. Ingresó en el Polytechnique en 1873, continuó sus estudios en la Escuela de Minas bajo la tutela de C. Hermite, y se doctoró en matemáticas en 1879. Fue nombrado profesor de física matemática en La Sorbona (1881), puesto que mantuvo hasta su muerte. Antes de llegar a los treinta años desarrolló el concepto de funciones automórficas, que usó para resolver ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes algebraicos.

En 1895 publicó su Analysis situs, un tratado sistemático sobre topología. En el ámbito de las matemáticas aplicadas estudió numerosos problemas sobre óptica, electricidad, telegrafía, capilaridad, elasticidad, termodinámica, macánica cuántica, teoría de la relatividad y cosmología. Ha sido descrito a menudo como el último universalista de la disciplina matemática.

En el campo de la mecánica elaboró diversos trabajos sobre las teorías de la luz y las ondas electromagnéticas, y desarrolló, junto a A. Einstein y H. Lorentz, la teoría de la relatividad restringida. La conjetura de Poincaré es uno de los problemas no resueltos más desafiantes de la topología algebraica, y fue el primero en considerar la posibilidad de caos en un sistema determinista, en su trabajo sobre órbitas planetarias. Este trabajo tuvo poco interés hasta que empezó el estudio moderno de la dinámica caótica en 1963. En 1889 fue premiado por sus trabajos sobre el problema de los tres cuerpos.

Jules Henri Poincaré (1854-1912)

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