Kurt Gödel, André Weil y Henri Poincaré. Filosofía de la matemática.

Hace algún tiempo publicamos en urbanoperu.com una copia de la revista Scientific American del Brasil, (Edicion 12) que contiene información sobre el trabajo científico de (Poincaré, Gödel y Bourbaki) no obstante que está escrita en portugués, considero que es un importante apoyo.

Los trabajos de Poincaré, Gödel y Bourbaki se presentaron como el intento de ofrecer al lector una visión de los temas fundamentales de la matemática que ocuparon a las mejores mentes del siglo XX. Actualizo estas referencias porque permiten al lector tener una visión sinóptica de la historia de la filosofía de la matemática.

Kurt Gödel

Reconocido como uno de los más importantes lógicos de todos los tiempos, el trabajo de Gödel ha tenido un impacto inmenso en el pensamiento científico y filosófico del siglo XX. Gödel, al igual que otros pensadores como Bertrand Russell, A. N. Whitehead y David Hilbert intentó emplear la lógica y la teoría de conjuntos para comprender los fundamentos de la matemática. A Gödel se le conoce mejor por sus dos teoremas de la incompletitud, publicados en 1931 a los 25 años de edad, un año después de finalizar su doctorado en la Universidad de Viena.

El más célebre de sus teoremas de la incompletitud establece que para todo sistema axiomático recursivo auto-consistente lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los números naturales (la aritmética de Peano), existen proposiciones verdaderas sobre los naturales que no pueden demostrarse a partir de los axiomas. Para demostrar este teorema desarrolló una técnica denominada ahora como numeración de Gödel, el cual codifica expresiones formales como números naturales.

También demostró que la hipótesis del continuo no puede refutarse desde los axiomas aceptados de la teoría de conjuntos, si dichos axiomas son consistentes. Realizó importantes contribuciones a la teoría de la demostración al esclarecer las conexiones entre la lógica clásica, la lógica intuicionista y la lógica modal.

Teoremas de la incompletitud de Gödel

IMPLICACIONES TEORICO—FILOSOFICAS DEL TEOREMA DE GOEDEL EN
EL PARADIGMA RACIONALISTA DE LA REFLEXION SOBRE LAS MATEMATICAS

Standford enciclopedia of Philosophy

Goedel y Einstein: amistad y relatividad


André Weil
La investigación de Weil se centro en la teoría de números, en la geometría algebraica y en la teoría de grupos. A partir de la década de 1940, Weil comenzó rápidamente la investigación de la geometría algebraica y la teoría de números y sentó las bases de la geometría algebraica abstracta y la teoría moderna de las variedades abelianas. Su trabajo sobre las curvas algebraicas ha influido en una gran variedad de áreas, incluyendo algunas fuera de las matemáticas, tales como la física de partículas elementales y la teoría de cuerdas.

De hecho el trabajo de Weil en este ámbito era fundamental para el trabajo de matemáticos como Yau, que fue galardonado con la Medalla Fields en 1982 para trabajar en tres dimensiones la geometría algebraica que tiene aplicaciones importantes en la teoría cuántica de campos.

Yau no es el único matemático que recibió la Medalla Fields por un trabajo que continúa lo iniciado por Weil. Deligne en 1978 fue galardonado con la Medalla Fields para la solución de las conjeturas de Weil.

Uno de los principales logros de Weil fue su prueba de la hipótesis de Riemann para las funciones zeta de la congruencia de los campos de funciones algebraicas. En 1949 se planteó hacer conjeturas acerca de la función zeta de la congruencia de las variedades algebraicas sobre campos finitos. Estas conjeturas de Weil, surgieron de su profundo conocimiento de la topología de variedades algebraicas y siempre fue uno de los principios rectores para la evolución posterior en el campo.

El trabajo de Weil en la teoría de números y en la geometría algebraica fue muy fructífera. Los cimientos de muchos temas estudiados en profundidad hoy en día fueron colocados por Weil en este trabajo, tales como los fundamentos de la teoría de las formas modulares, las funciones y representaciones automorfas.

Sin embargo, el trabajo de Weil fue de gran importancia en una serie de otros temas de la nueva matemática. Él contribuyó sustancialmente a la topología, a la geometría diferencial y a la geometría analítica compleja. Pero no sólo en estas áreas contribuyo, más importante aún, su trabajo llevado a cabo relaciones fundamentales entre las áreas al estudiar el análisis armónico en grupos topológicos y clases características. También reunio estas áreas en conjunto en su trabajo sobre la teoría geométrica de la función theta y la geometría Kähler.

Junto con Jean Dieudonné y otros, Weil escribió bajo el nombre de Nicolas Bourbaki, un proyecto que comenzó en la década de 1930, en el que intentó dar una descripción unificada de las matemáticas. El objetivo era invertir una tendencia que no les gustaba, a saber, la falta de rigor en las matemáticas. La influencia de Bourbaki ha sido muy importante durante muchos años, , ya que básicamente ha tenido éxito en su objetivo de fomentar el rigor y la abstracción.

Los libros más famosos de Weil incluyen Fundamentos de la Geometría Algebraica (1946) y Funciones elípticas según Eisenstein y Kronecker (1976).

Weil recibió muchos honores por su destacada labor en las matemáticas. Entre estos ha sido miembro honorario de la Sociedad Matemática de Londres en 1959 y la elección de una beca de la Royal Society de Londres en 1966. Además, ha sido elegido miembro de la Academia de Ciencias de París y de la Academia Nacional de Ciencias en los Estados Unidos.

Weil fue un orador invitado en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1950 en la Universidad de Harvard y otra vez en el Congreso Internacional siguiente, en 1954. En 1979, Weil fue galardonado con el Premio Wolf y, en el año siguiente, la Sociedad Americana de Matemáticas le otorgó el Premio Steele. En 1994 recibió el Premio Kioto de la Fundación Inamori de Japón:

Los resultados obtenidos y los problemas planteados por André Weil, a través de su profundo conocimiento y una profunda visión en ciencias matemáticas, en general, seguirá teniendo influencia inmensa en el desarrollo de las ciencias matemáticas, y contribuyó en gran medida al desarrollo de la ciencia, así como a la profundización y elevación del espíritu humano.

André Weil es recordado por su trabajo fundamental en las fronteras de las matemáticas.

En su biografía oficial figura que es miembro de la Academia de Ciencias y Letras de Poldavia. (Poldavia fue un país inventado por la ficción de Bourbaki.)
Armand Borel, Pierre Cartier, Komaravolu Chandrasekharan, Shiing-Shen Chern, and Shokichi Iyanaga

Henri Poincaré

(Nancy, Francia, 1854-París, 1912) Matemático francés. Ingresó en el Polytechnique en 1873, continuó sus estudios en la Escuela de Minas bajo la tutela de C. Hermite, y se doctoró en matemáticas en 1879. Fue nombrado profesor de física matemática en La Sorbona (1881), puesto que mantuvo hasta su muerte. Antes de llegar a los treinta años desarrolló el concepto de funciones automórficas, que usó para resolver ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes algebraicos.

En 1895 publicó su Analysis situs, un tratado sistemático sobre topología. En el ámbito de las matemáticas aplicadas estudió numerosos problemas sobre óptica, electricidad, telegrafía, capilaridad, elasticidad, termodinámica, macánica cuántica, teoría de la relatividad y cosmología. Ha sido descrito a menudo como el último universalista de la disciplina matemática.

En el campo de la mecánica elaboró diversos trabajos sobre las teorías de la luz y las ondas electromagnéticas, y desarrolló, junto a A. Einstein y H. Lorentz, la teoría de la relatividad restringida. La conjetura de Poincaré es uno de los problemas no resueltos más desafiantes de la topología algebraica, y fue el primero en considerar la posibilidad de caos en un sistema determinista, en su trabajo sobre órbitas planetarias. Este trabajo tuvo poco interés hasta que empezó el estudio moderno de la dinámica caótica en 1963. En 1889 fue premiado por sus trabajos sobre el problema de los tres cuerpos.

Jules Henri Poincaré (1854-1912)

En qué consiste el racionalismo.

El Racionalismo fue un Movimiento filosófico desarrollado particularmente en la Europa continental durante los siglos XVII y XVIII y cuyo principal exponente fue Descartes. Fue subdividido por los historiadores en dos bloques antagónicos: racionalismo, llamado racionalismo continental y empirismo, predominante en Inglaterra. Comprende todo el siglo XVII y es un largo e intenso epígono metafísico a los grandes progresos de la ciencia del Renacimiento. En él la filosofía adopta el paradigma matemático de la geometría y el paradigma experimental de la física, oponiéndose tanto al escepticismo pirrónico como al formalismo escolástico.



En la epistemología y, en su sentido moderno, el racionalismo se puede considerar como cualquier punto de vista que apela a la razón como fuente de conocimiento o de la justificación (Lacey 286). En términos más técnicos, es un método o una teoría "en el que el criterio de la verdad no es sensorial sino intelectual y deductivo" (Bourke, 263). Diferentes grados de énfasis en este método o teoría dar lugar a una serie de puntos de vista racionalista, de la posición moderada "que la razón tiene prioridad sobre otras formas de adquirir conocimiento" a la posición radical que la razón es "el único camino al conocimiento" (Audi 771 ). Teniendo en cuenta una pre-comprensión moderna de la razón, "racionalismo" es idéntico a la filosofía, la vida de Sócrates de investigación, o la interpretación Zetetic de autoridad. En las últimas décadas, Leo Strauss trató de revivir el racionalismo político clásico como una disciplina que comprende la tarea de razonamiento, no como fundacional, sino como mayéutica.

Referencia al pensamiento de algunos filosofos racionalistas.

Sócrates
Sócrates creía firmemente que, antes de que los humanos puedan entender el mundo, primero tienen que comprenderse a sí mismos, y que la única manera de lograrlo es con el pensamiento racional.



Sostenía que la tarea del filósofo es la de refinar y, finalmente, extraer el alma irracional de la esclavitud, (de los sentidos y de las emociones) de ahí la necesidad de un desarrollo moral, para posibilitar conectarse con el alma racional, y así convertirse en una persona completa, en la que se pueda manifestar la esencia espiritual más elevada de la persona, en lo físico.

Baruch Spinoza
Partiendo de la innegable influencia de Descartes, creó un sistema muy original, con mezcla de elementos propiamente judíos, escolásticos y estoicos. En lo que se refiere a Descartes, éste había considerado la existencia de tres sustancias: el pensamiento, la extensión y Dios. Spinoza reduce estas tres sustancias a una sola: sustancia divina infinita, que según la perspectiva que se adopte, se identifica bien con Dios o bien con la Naturaleza (ambos términos llegan a ser equivalentes para él, según su célebre expresión Deus sive Natura).
Para Spinoza, la substancia es la realidad, que es causa de sí misma y a la vez de todas las cosas; que existe por sí misma y es productora de toda la realidad; por tanto, la naturaleza es equivalente a Dios. Este cambio tiene la ventaja, sobre la filosofía cartesiana, de borrar de un plumazo los problemas que presenta la filosofía de Descartes para explicar la posibilidad del conocimiento

Baruch Spinoza.


Gottfried Wilhelm von Leibniz
Junto con René Descartes y Baruch Spinoza, es uno de los tres grandes racionalistas del siglo XVII. Su filosofía se enlaza también con la tradición escolástica y anticipa la lógica moderna y la filosofía analítica.

Leibniz fue precursor del idealismo alemán y fundador remoto de la filosofía analítica (que continuarán Kant, Fichte, Schelling y Hegel, por un lado; y Frege, Russell y Wittgenstein.

Emmanuel Kant
Comenzó como un racionalista tradicional, luego de haber estudiado a los racionalistas Leibniz y Wolff, pero después de estudiar las obras de David Hume, fue que "se despertó de su “sueño dogmático", y desarrolló un racionalismo propio con el que intentó una síntesis de la tradición racionalista tradicional y empírica.



Kant denomino a su rama de la epistemología como Idealismo Trascendental, y estableció por primera vez estos puntos de vista en su famosa obra La Crítica de la razón pura. En ella argumenta que hay problemas fundamentales con los dogmas racionalistas y empiristas.

Bertrand Russell

Russell rechazó pronto el idealismo metafísico en que fue educado. Su teoría del conocimiento es realista y quiere conectar, a semejanza de la de su colega G. Edward Moore, con las intuiciones del sentido común ordinario. Por un lado, es el heredero de la tradición del empirismo británico. Por otro, es el lógico contemporáneo más ambicioso, obsesionado con la idea de un lenguaje simbólico perfecto, que elimine toda ambigüedad expresiva. El resultado de todas estas preocupaciones es el llamado atomismo lógico de Russell, una sobria metafísica empirista que se cuenta entre los mejores logros de la filosofía contemporánea.

Russell y Moore intentaron eliminar lo que les parecían afirmaciones incoherentes en la filosofía, buscando la claridad y la precisión en los argumentos con el uso de lenguaje exacto y desmenuzando las ideas filosóficas en sus componentes gramaticales más simples. Russell veía la lógica formal y la ciencia como las herramientas principales del filósofo y no creía que la filosofía fuera un método distinto.



Blog con información sobre BR.

Popper, Karl.
Sostenía que no era un empirista y un racionalista al mismo tiempo sino también un liberal (en el sentido inglés de la palabra): y que justamente porque era un liberal afirmaba que pocas cosas son tan importantes para un liberal como someter las diversas teorías del liberalismo a un minucioso examen crítico.



Referencias
Popper, Karl. El desarrollo del conocimiento científico: Conjeturas y Refutaciones. Barcelona, Paidós, Buenos Aires, 1979.

El racionalismo llevado a sus extremos ha tenido críticas como las de Gandhi quien escribió:
Rationalists are admirable beings, but rationalism is a hideous monster when it claims for itself omnipotence. Attribution of omnipotence to reason is as bad a piece of idolatry as is worship of a stick and stone believing it to be God. (Fisher 1997) ”

El Silabo de errores del papa pio IX contiene una famosa serie de 14 condenaciones contra el racionalismo absoluto y moderado.

Audi, Robert. The Architecture of Reason: The Structure and Substance of Rationality. New York: Oxford University Press, 2001.
Audi, Robert (ed., 1999), The Cambridge Dictionary of Philosophy, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1995. 2nd edition, 1999.

Racionalismo vs. Empirismo
Historia del racionalismo.

Dagobert Runes dictionary of Philosophy.

EL IMPERATIVO DE LA RESPONSABILIDAD: HANS JONAS

Hans Jonas es principalmente conocido por su influyente obra El imperativo de la responsabilidad. El Principio de la Responsabilidad de Jonas es una evaluación sumamente crítica de la ciencia moderna y de su "brazo armado", la tecnología. El filósofo muestra la necesidad que el ser humano tiene de actuar con cautela y humildad frente al enorme poder transformador de la tecnociencia.

Jonas tuvo el sentimiento de un posible apocalipsis gradual, resultante del creciente peligro presentado por los riesgos del progreso técnico global y su utilización inadecuada. Hasta ese entonces, el alcance de las prescripciones éticas estaba restringido al ámbito de la relación con el prójimo en el momento presente. Era una ética antropocéntrica y dirigida a la contemporaneidad. La moderna intervención tecnológica cambió drásticamente esa plácida realidad al poner la naturaleza al servicio del hombre y susceptible de ser alterada radicalmente.

De ese modo, el hombre pasó a tener una relación de responsabilidad con la naturaleza, puesto que la misma se encuentra bajo su poder. Además de la intervención en la naturaleza extrahumana, es grave la manipulación del patrimonio genético del ser humano, que podrá introducir alteraciones duraderas de consecuencias futuras imprevisibles. Concluye diciendo que es preciso una nueva propuesta ética, que contemple no sólo la persona humana, sino la naturaleza también. Ese nuevo poder de la acción humana impone modificaciones en la propia naturaleza de la ética.

Delante de un poder tan extraordinario de transformaciones estamos desprovistos de reglas que ordenen las acciones humanas. Ese enorme desajuste sólo podrá repararse, de acuerdo con Jonas, mediante la formulación de una nueva Ética.

Ese divorcio entre los avances científicos y la reflexión ética hicieron que Jonas propusiera nuevas dimensiones para la responsabilidad, pues "la técnica moderna ha introducido acciones de magnitudes tan diferentes, con objetivos y consecuencias tan imprevisibles, que los marcos de la ética anterior ya no pueden contenerlos".

En un contexto contemporáneo la pregunta kantiana "¿Qué puedo hacer?" debe contener otra: ¿Qué puedo hacer y qué puedo fabricar? El cuestionamiento ético, por lo tanto, ocurre en todos los instantes de la producción del conocimiento científico. La pregunta que Jonas formula es: ¿Qué podría satisfacer más en la búsqueda consciente de la verdad?". Recuerda las palabras de Oppenheimer que, después de años de trabajo en un laboratorio en busca de la fisión nuclear y al observar su aplicación en Hiroshima señalo que en aquel momento el científico puro tomó conocimiento del pecado. Desde entonces la paz de conciencia de los científicos quedó estremecida en todos los campos de investigación.

Siempre estaba presente la duda: ¿Qué puedo hacer? Cuando hoy algunos científicos se desalientan preocupados con sus quehaceres reciben la siguiente respuesta de Gadamer: "¡No es verdad! Las ideas generales son vitales; la necesidad que hay de integrar nuestro saber es mucho más universal que la universalidad de las ciencias!"

Ojalá Popper tuviera razón cuando afirma que la historia de las ciencias, como la de todas las ideas humanas, es una historia de sueños irresponsables, de caprichos y de errores. Sin embargo, la ciencia es una de las raras actividades humanas, tal vez la única, en la cual los errores son señalados sistemáticamente y, con el tiempo, constantemente corregidos. Frente a tal afirmación, se impone indagar sobre cómo considerar, entonces, a las víctimas fatales de la tecnociencia, principalmente tomando en cuenta que él ya no suele ocupar el puesto de mando, sino que está al servicio de los que poseen el poder y no suelen cultivar preocupaciones de esa naturaleza. Es preciso considerar que la ciencia no tiene por misión providencial salvar a la humanidad, no obstante posee poderes ambivalentes sobre el desarrollo futuro de la humanidad.
Al contrario, el saber moderno, de fuerte predominio técnico, se hace acompañar por un extraordinario poder de transformación careciendo, sin embargo, de una reflexión ética que ejerza moderación sobre el poder de la tecnociencia.

En el momento actual hay una representación de un futuro que tal vez no se realice, pero que sin embargo, expone su testimonio en el presente como caracterización de una desdicha, como imagen de lo no querido y, sobre todo, presentando enfáticamente la necesidad de instituir un nuevo estatuto de responsabilidad de los hombres que tenga por objetivo el sustento de la vida humana y extrahumana. Así se comprende la tesis de Jonas, como una ética orientada hacia el futuro. Por lo tanto, la responsabilidad en la ética es la articulación entre dos realidades, una subjetiva y otra objetiva. Es forjada por esa fusión entre el sujeto y la acción. Al mismo tiempo, hay también un aspecto de descubrimiento que se revela en la acción propiamente dicha y sus consecuencias. El orden ético está presente, no como realidad visible, sino como un llamado sensato que pide calma, prudencia y equilibrio. A este nuevo orden Jonas le da el nombre de Principio de Responsabilidad.